Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Hallo, guten Morgen.

Wir schauen uns gerade die thermodynamischen Potenziale an.

Das heißt, Dinge wie die Energie oder die freie Energie und noch weitere, die wir kennenlernen werden.

Und wir schauen uns an jeweils, was sind die natürlichen Variablen.

Das sind die Variablen, die man nehmen kann, wo die Ableitungen möglichst einfach aussehen.

Okay, ich wiederhole nochmal am Anfang.

Wir hatten die Energie, die innere Energie, und da hatten wir verstanden, die natürlichen Variablen wären die Entropie und das Volumen.

Denn wenn man die E, die Änderung der Energie hinschreibt, dann ist es einfach Tds minus PdV.

Ja, der erste Teil ist die Wärme und der zweite Teil ist die Arbeit.

Und daraus sieht man nun, dass die Ableitung von E nach S bei konstantem Volumen dann einfach die Temperatur ist.

Und insofern ist es sehr einfach und ich brauche nicht wissen, was ist die Zustandsgleichung.

Ist es eine Flüssigkeit oder ein Gas? Ist immer dieselbe Formel.

Ok, also sind S und V die natürlichen Variablen von E.

Und dann hatten wir auch die freie Energie uns angeschaut. Die kennen wir schon lange.

Da wissen wir schon lange, dass wir immer die Temperatur und das Volumen nehmen.

In dem Sinne, dass die Zustandssumme zunächst mal eine Funktion der Temperatur ist.

Also hatten wir das immer aufgefasst. Und dann, wenn ich zusätzliche Parameter habe, wie das Volumen, dann kommt das eben auch noch dazu.

Ok. Und wir wissen auch schon von früher, die freie Energie ist E minus TS.

Und wir hatten dann daraus noch einmal hergeleitet, was wir auch schon wussten.

dF ist minus S dt minus P dV. Und dieser Schritt hier, dass wir das Produkt von zwei Größen abziehen, der ist wichtig.

Der nennt sich Legendre-Transformation. Und der hat es uns erlaubt, sozusagen von dem T dS zu gehen zum minus S dt.

Ok. Und am Ende der letzten Stunde hatte ich noch kurz angedeutet, wenn wir die Teilchenzahlen nicht festhalten, sondern auch noch als Variable betrachten,

dann würden wir die hier dazu nehmen. Und dann hätten wir hier mu dN als zusätzliches Differential.

Also das chemische Potential wurde dann einfach auch von uns früher schon so definiert, dass es die Ableitung der freien Energie nach N ist.

Ok. Als nächstes kommt ein thermodynamisches Potential, was wir noch nicht kennengelernt hatten.

Und das ist die sogenannte Nthalpy. Auch genannt H. Nicht zu verwechseln mit der Hamilton-Funktion, damit hat das nichts zu tun.

Wie ist die Nthalpy definiert? Auch hier haben wir eine Legendre-Transformation. Wir gehen zurück zur Energie.

Wenn wir eine Legendre-Transformation bezüglich T und S machen, kommt die freie Energie raus. Wenn wir eine machen bezüglich P und V, kommt die Nthalpy raus.

Das heißt, hier brauche ich E. Und dann, welches Vorzeichen werde ich wählen? Wenn ich hier minus PdV habe, möchte ich hier vielleicht plus P mal V addieren.

Weil das garantiert dann, dass, wenn ich nun das Differential nehme, dieses minus PdV wegfällt. Probieren wir es mal aus.

Dh ist offenbar De plus PdV plus VdP. Das kann ich nun vergleichen mit dem Tds minus PdV. Und ich sehe tatsächlich, wie gewünscht, das PdV fällt raus und ich bekomme einfach nur Tds plus VdP.

Und wenn ich auch noch die Teilchenzahl zulassen würde als Variable, die sich ändern kann, dann stünde da zusätzlich noch mu dN.

Das heißt, wir lernen jetzt auch hieraus wieder, was sind die natürlichen Variablen von der Nthalpy? Was sind S, P und N?

Okay. Unsere Liste ist noch nicht ganz zu Ende. Was man jetzt weiterhin machen kann, ist, im Prinzip man hat die Möglichkeit, für jede Variable in der Legendre Transformation zu machen.

Und ich habe hier eins, zwei und dann noch drei, wenn ich die Teilchenzahl dazu nehme. Bei jeder kann ich eine Legendre Transformation machen.

Das heißt, es sollten zwei hoch drei Möglichkeiten sein. Weil ich mich jeweils entscheiden kann, will ich eine machen oder nicht.

Okay. Die nächste Größe, die wir kennenlernen, ist die sogenannte Gibbs-Schiffreierenergie mit dem Buchstaben G.

Und hier ist die Idee, wir gehen wieder von der Energie aus. Wir machen eine Legendre Transformation bezüglich S und T und bezüglich P und V.

Wir kombinieren beide Transformationen, die wir nun für die Freie Energie und für die Nthalpy schon jeweils einzeln gemacht haben.

Das heißt, ich schreibe E minus Ts plus P mal V. Ich hätte auch sagen können, E minus Ts ist ja die freie Energie, also ist das nichts anderes als F plus PV.

Jetzt gehen wir wieder daher und nehmen unser Differential und schauen, was herauskommt. Ich schreibe das Ergebnis gleich hin.

Wir kennen ja inzwischen die Idee, dG ist minus S dt plus V dP plus mu dN.

Das heißt, auch hier sehen wir wieder die natürlichen Variablen T, P und N.

Ich gehe jetzt nicht alle Möglichkeiten durch, die es geben kann, aber eine wollen wir uns noch anschauen und das ist eine, die wir auch schon kennen, nämlich das ist das thermodynamische Potential im großkanonischen Ensemble.

Das hatten wir schon mal kurz kennengelernt, als wir uns die großkanonische Zustandsnummer angeschaut haben und gesagt haben, was ist, wenn ich da den Logarithmus nehme.

Okay, also Phi ist F minus mu mal N. Hier mache ich also eine Legendre-Transformation bezüglich mu und N, was ich bisher noch nicht hatte.

Das heißt, als neue Variable wird nicht mehr N da stehen, sondern mu. Tatsächlich dPhi ist dann dF minus mu dN minus N d mu.

Oder wenn ich es ausrechne, minus S dt minus P dV minus N d mu.

Also habe ich als natürliche Variablen wieder T, V und diesmal mu.